В исследовании рассматривается алгоритм получения изображения самоподобного объекта, который является результатом вычисления относительной погрешности различных конечно-разностных схем решения задачи Коши второго порядка с помощью итерационного процесса [1]. С помощью программы можно наблюдать при каких условиях и на каких точках значение погрешности может стремиться к бесконечности или оставаться в области определенных значений.
При рассмотрении связи полученного множества с корректностью задач математической физики было выявлено, что при определенном цифровом кодировании распределение относительной погрешности дает повторяющееся изображение и самоподобие. Компьютер можно превратить в своеобразный микроскоп и наблюдать с его помощью за поведением границ области. Если рассматривать множество, полученное из вычисления относительной погрешности на комплексной плоскости, то значения, лежащие вне этих множеств, стремятся к бесконечности, внутри границы множества имеют волнообразную форму. Область, где появляется неустойчивость, смещается к границе множества, и его граница вырисовывается особым образом, и именно здесь появляются удивительно красивые формы.
Фракталы и самоподобные объекты [2], отображающие область устойчивости решений дифференциальных уравнений, имеют между собой схожие свойства и различия. Полученное множество имеет кольцеобразный вид, внутри кольца и за его пределами находятся сравнительно большие области неустойчивости. По изображению множества заметно, что центр кольца смещен влево по действительной оси. Кривая графика проходит через центры устойчивых зон и образует линию, которая проходит через аттракторы.
При очень малых значениях шага множество явно демонстрирует стохастическое поведение, но при этом множество не теряет свойства самоподобия.
Аналогичные изображения были получены в работах и других авторов, например, в следующей статье https://www.mdpi.com/2504-3110/7/1/76.
Список использованной литературы:
1 А. Л. Бухгейм. Введение в теорию обратных задач. Изд-во Наука, Сиб.отд-ние, 1988.
2 Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы. Москва: Институт компьютерных исследований, 2002. - 656 с.
| Abstracts: | abstracts_744015_en.pdf |