Международная конференция
«Современные проблемы прикладной математики и механики: теория, эксперимент и практика», посвященная 90-летию со дня рождения академика Н.Н. Яненко
№ гос. регистрации 0321101160, ISBN 978-5-905569-01-2

Лихачев А.В.  

Сравнение методов томографической реконструкции Фельдкампа, Гранжа и Туя для круговой траектории источника

     В работе Туя [1] выведена формула обращения лучевого преобразования и сформулированы условия полноты для траектории источника, при выполнении которых ее можно применять. Основное условие следующее: любая плоскость, пересекающая носитель реконструируемой функции, должна пересекать траекторию источника. Окружность не является полной траекторией, тем не менее, она часто реализуется в томографическом оборудовании. В этом случае для реконструкции используется метод Фельдкампа [2]. На основе формулы Туя также можно построить приближенный алгоритм. При этом следует рассматривать только плоскости, которые пересекают и носитель, и окружность. Еще одним подходом к томографии с источником, движущимся по кривой, является метод Гранжа [3]. Из лучевых проекционных данных вычисляются производные от трехмерного преобразования Радона, после чего производится его обращение.
      В предлагаемой работе сравниваются эти три метода. Получены оценки их быстродействия. Для методов Туя и Гранжа они имеют одинаковый порядок: число операций для реконструкции в точке пропорционально количеству отсчетов (по одной переменной) на детекторе, умноженному на количество пространственных направлений, по которым аппроксимируется интеграл по единичной сфере. Для алгоритма Фельдкампа эта оценка пропорциональна числу проекций. В проведеном вычислительном эксперименте получено, что когда радиус траектории источника меньше размера области реконструкции, метод Туя обеспечивает меньшую ошибку.

[1] Tuy H.K. An inversion formula for cone-beam reconstruction. // SIAM J. Applied Mathematics. 1983. Vol. 43, No.3 . P. 546-552.
[2] Feldkamp L.A., Davis L.C., Kress J.W. Practical cone-beam algorithm. // J. Opt. Soc. Amer. A. 1984. Vol. 1, No. 6. P. 612-619.
[3] Grangeat P. Mathematical framework of cone-beam 3D reconstruction via the first derivative of the Radon transform. // Proc. conf. Mathematical methods in tomography. Oberwolfach, Germany. 1990. P. 66-97.