Международная конференция
«Современные проблемы прикладной математики и механики: теория, эксперимент и практика», посвященная 90-летию со дня рождения академика Н.Н. Яненко
№ гос. регистрации 0321101160, ISBN 978-5-905569-01-2

Кузоватов И.А.  

Схемы экспоненциальной подгонки на треугольных сетках

            Диффузионно-конвективные уравнения находят широкое применение при моделировании различных физических процессов. Исследование диффузионно-конвективных уравнений особенно актуально при значительном преобладании конвективных процессов, математически это можно сформулировать как наличие малого параметра при диффузионных слагаемых. Численное решение диффузионно-конвективных уравнений с малым параметром малоэффективно при использовании традиционных вычислительных алгоритмов, когда величина параметра сравнима или меньше шага сетки.
          Одним из специальных алгоритмов, который используется для численного решения сингулярных диффузионно-конвективных, является метод экспоненциальной подгонки. Одномерная разностная схема экспоненциальной подгонки известна также как схема Ильина-Аллена-Саусвелла. Построение схемы экспоненциальной подгонки для диффузионно-конвективных уравнений на треугольных сетках актуально при численном решении сингулярных краевых задач в областях сложной геометрии. 
            В данной работе проведено построение экспоненциальной схемы на треугольном сеточном шаблоне в различных вариантах, при помощи метода конечных элементов и метода конечных объемов. Предложенная схема экспоненциальной подгонки является абсолютно устойчивой по малому параметру схемой второго порядка аппроксимации, обладает свойствами монотонности и консервативности.
           При численном исследовании сингулярных диффузионно-конвективных краевых задач анализируется не только порядок аппроксимации разностной схемы, но и устойчивость схемы и порядок равномерной сходимости по малому параметру. Предложенные варианты экспоненциальной схемы на треугольном сеточном шаблоне абсолютно устойчивы и обладают первым порядком равномерной сходимости по малому параметру. 
           На основе экспоненциальной схемы, построенной при помощи метода конечных объемов, предложена компактная разностная схема на треугольном сеточном шаблоне повышенного порядка аппроксимации и равномерной сходимости. Компактная схема является обобщением известной компактной схемы для уравнения Пуассона на сетке из правильных треугольников, полученной методом конечных разностей.