Ортогональные преобразования дифференциально-разностных схем
При численном моделировании конкретных физических процессов выбор системы координат определяется рядом, зачастую противоречивых, факторов. Это формы расчетных областей и вид уравнений в частных производных, требования точности и простоты алгоритма, симметрии полей, начальных данных, граничных условий, решений и пр.
При тензорном преобразовании уравнений механики сплошной среды сохраняется алгебраическая структура уравнений, разделяя криволинейные направления и различные физические процессы. И здесь возможны два пути. На первом из них представленная в декартовых координатах исходная система дифференциальных уравнений преобразуется к выбранным криволинейным координатам, и полученная система аппроксимируется в дискретном пространстве.
На втором пути преобразуется не система дифференциальных уравнений, а ее дискретная аппроксимация в декартовых координатах: дифференциально-разностная схема (ДРС) или разностная схема. Результаты этих аппроксимаций будут различаться, как различаются дискретные элементы объема. Неинвариантный в первом случае, с криволинейными ребрами и гранями, и декартовый преобразованный инвариантный во втором, где ребра ячеек – отрезки прямых (в случае первого порядка аппроксимации). Второй путь менее изучен, в то же время преобразование разностных операторов является эффективным методом изучения свойств разностных схем. А именно: автор построил обобщение теоремы Нетер для дифференциально-разностных схем, что позволило выявить необходимые и достаточные условия инвариантности схемы, при которых группе преобразований соответствует закон сохранения схемы.
Преобразование же системы дискретных аппроксимаций в декартовых координатах к криволинейным координатам – вот задача, которой посвящена настоящая работа.
Устанавливается, как преобразуются согласованные дискретные аппроксимации первых производных при переходе от декартовых координат к ортогональной криволинейной системе. Полученные аппроксимации первых производных применяются для конструирования ДРС газовой динамики. Основное преимущество этого пути нам видится именно в возможности использования в криволинейных координатах работоспособных и теоретически обоснованных разностных схем в декартовых координатах.
Ценность этого подхода, для численного анализа задач механики сплошной среды, состоит в возможности сквозного расчета в декартовых координатах течений в областях со сложными криволинейными границами. Постановка и реализация граничных условий осуществляется в локальных системах координат с преобразованием в декартову систему.
К списку докладов
|
