Новый метод трёхмерной томографии для неполных траекторий источника
Для траекторий источника, удовлетворяющих условиям полноты, известна формула обращения лучевого преобразования [1]. Если траектория неполная, то для томографической реконструкции применяются приближенные методы. Однако до настоящего времени не существует доказательства того, что точная реконструкция невозможна при неполной траектории. Предлагаемый в работе метод основан на теореме Гранжа [2] и условии Кавальери для преобразования Радона [3].
Теорема Гранжа связывает лучевые проекции функции с производной по радиальной переменной от её трёхмерного преобразования Радона. Если производная задана всюду, по ней можно провести реконструкцию. Однако при неполной траектории её невозможно вычислить для некоторых пространственных направлений [2]. В работе для функций с ограниченным носителем была получена модификация условия Кавальери для восстановления первой производной от преобразования Радона по её известной части.
Предлагаемый алгоритм состоит в следующем. По теореме Гранжа там, где это возможно, вычисляется производная от трёхмерного преобразования Радона искомой функции. Согласно модифицированному условию Кавальери, она экстраполируется на всю область определения. Далее для реконструкции используется формула обращения преобразования Радона. Вычислительный эксперимент, проведённый для круговой траектории источника, показал, что предлагаемый метод обеспечивает более высокую точность восстановления, чем алгоритм Фельдкампа.
[1] Tuy H.K. An inversion formula for cone-beam reconstruction. // SIAM J. Applied Mathematics. 1983. V.43, No.3. P.546-552.
[2] Grangeat P. Mathematical framework of cone-beam 3D reconstruction via the first derivative of the Radon transform. // Proc. conf. Mathematical methods in tomography. Oberwolfach, Germany. 1990. P.66-97.
[3] Гельфанд И.М., Граев М.И., Виленкин Н.Я. Избранные задачи интегральной геометрии. М.: Добросвет, 2000.
To reports list
|
