Моделирование процессов деформирования и устойчивости горного массива на основе методов неархимедового анализа
В механике сплошных сред используется концепция арифметического архимедового пространства. Точка такого пространства представляет собой тройку вещественных чисел, удовлетворяющих аксиоме Архимеда. Это значит, что, двигаясь с фиксированным шагом из любой точки пространства, можно за конечное число шагов достичь любой другой заданной его точки. В этом смысле архимедово пространство является одномасштабным.
Хорошо известно, что реальные твердые тела обладают иерархией структурных уровней, и поэтому процессы их деформирования разыгрываются на различных масштабах. Последовательное развитие математических моделей подобных сред показывает, что иерархией структурных уровней должно быть наделено само арифметическое пространство. Координатные оси такого пространства представляют собой неархимедовые прямые, обладающие бесконечной иерархией масштабных уровней.
Построение соответствующих числовых систем осуществляется с использованием последовательности рациональных чисел. Вещественным числам соответствуют определенные классы эквивалентности таких последовательностей. Вводится более жесткое условие эквивалентности и на этой основе строится числовая система, включающая в себя бесконечно большие числа. Строится продолжение натурального ряда в данную область и вводятся числовые последовательности того же порядкового типа, что и продолженный натуральный ряд. Классы эквивалентности таких последовательностей дают необходимую числовую систему и соответствующее арифметическое неархимедово пространство.
Материальная точка в своем движении в неархимедовом пространстве все промежуточные положения может не проходить, подобно движению колеса по дороге с неровностями, много меньшими диаметра колеса. Аналогично деформируемая среда может не заполнять все масштабные уровни пространства.
Вводятся понятия производных на различных масштабных уровнях, неопределенного и определенного интегралов, а также понятия, позволяющие описывать переходы с одного масштабного уровня пространства на другой.
На основе разработанного математического аппарата формулируется двухмасштабная математическая модель горной породы, обладающей иерархией структурных уровней. Формулируются уравнения, связывающие компоненты тензоров деформаций и напряжений на каждом масштабном уровне, а также уравнения связи между масштабными уровнями. В модели на микромасштабном уровне учтены межзеренное скольжение с учетом разупрочнения и анизотропия горного массива. Формулируются определяющие уравнения, связывающие приращения макроперемещений и макронапряжений. Коэффициенты модели зависят от свойств среды на микроуровне, параметров разупрочнения и анизотропии массива.
Сформулированная модель реализована в виде конечно-элементного алгоритма, позволяющего численно решать плоские краевые задачи. Рассмотрена задача о деформировании тяжелого горного массива в окрестности горизонтальной протяженной выработки. Показано, что в массиве в процессе нагружения образуются зоны разупрочнения и зоны потери прочности на сдвиг. Геометрия указанных зон зависит от параметров задачи. Строятся изолинии напряженного состояния в массиве и линии тока энергии.
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 10-05-91002) и Сибирского Отделения РАН (интеграционный проект № 69).
To reports list
|
