\documentclass[10pt]{article}

% Подключение пакетов.
 \usepackage{amsmath}
 \usepackage{amsfonts,amssymb}
 \usepackage{amsthm}
 \usepackage[active]{srcltx}
 \usepackage[utf8x]{inputenc}

 \usepackage[cp1251]{inputenc}
 \usepackage[russian, ]{babel} % Пакет поддержки русского языка

\usepackage[final]{graphicx}

% Оформление списка литературы
\newenvironment{ltrtr}{
 \vspace{0.5\baselineskip} \noindent {\footnotesize{СПИСОК \
ЛИТЕРАТУРЫ}} \vspace{-0.5\baselineskip}
 \begin{enumerate}
 \partopsep=0pt\topsep=0pt\itemsep=1pt\parsep=0pt\parskip=0pt}{\end{enumerate}}

% Установка размеров страницы
\textwidth          13cm 
\textheight         18cm 
\topmargin          0mm 
\oddsidemargin      5mm

\begin{document}

% Инициализация счетчиков автоматической нумерации
\setcounter{figure}{0} \setcounter{equation}{0}
 \setcounter{table}{0} \setcounter{footnote}{0}

\begin{center}
 \title{}{\bf Сравнительный анализ численных методов решения обратной задачи определения источника акустических волн }

\author{}{Губер А.В., Шишленин М.А.}

{\it Новосибирский государственный университет, Новосибирск}

{\it a.guber@g.nsu.ru}

\end{center}
В работе исследована обратная задача определения источника волн в двумерном случае. 

%Она состоит в нахождении начальной формы волны цунами $q(x, y)$ по данным приёмников $f_n(t), n=\overline{1,N}$, измеряющих уровень воды в точках $(x_n, y_n)$.  Подобные задачи возникают в морской акустике и сейсмике \ref{reference1}. Её решение имеет важное значение для изучения возникновения волн цунами и землетрясений. Поскольку землетрясения связаны с начальным возмущением поверхности океана, определение параметров землетрясения сводится к вопросу определения формы начального возмущения свободной поверхности. По её начальному возмущению можно определить очаг землетрясения, составить прогноз возникновения цунами \ref{reference2} и указать прибрежные районы, которые находятся под риском затопления. Также знания, полученные в результате решения задачи определения источника волн могут быть использованы для исследования структуры дна океана и уточнения данных о строении Земли.\\

Рассмотрим прямую задачу для уравнения акустики в области $\Omega=\{(x,y): x\in(0,L_x), y\in(0,L_y) \}$: 
$$
u_{tt} = \text{div}{(c^2(x, y) \nabla u)},\qquad (x, y) \in\Omega, \quad t\in (0, T),
$$
$$
u|_{t = 0} = q(x, y), \qquad u_t|_{t = 0} = 0,
$$
$$
u|_{\partial \Omega} = 0.
$$
Подобные задачи возникают во многих приложениях. Например, в задачах распространения волны цунами $c(x,y)=\sqrt{gh(x, y)}$ --- скорость распространения волн, $h(x,y)$ глубина океана, $g=9.81$ м/с$^2$ --- ускорение свободного падения [1].

Обратная задача состоит в определении функции $q(x, y)$ по дополнительной информации [2]:
$$
u(x_n, y_n, t) = f_n (t), \qquad n=\overline{1, N}.
$$
Здесь $(x_n, y_n)$ --- расположение приемников, $N$ --- количество приёмников.

В операторной форме обратная задача формулируется в виде $Aq = f$.

Проведён сравнительный анализ таких численных методов решения данной задачи, как матричный метод, нейронные сети PINN, градиентный метод.

\begin{ltrtr}

\bibitem{1}
 {\it} В. М. Кайстренко. Обратная задача на определение источника цунами. -- Сб.: Волны цунами. Труды САХКНИИ -- 1972. Вып.29.С.82-92
\bibitem{2}
 {\it} М. А. Шишленин. Матричный метод в задачах определения источников колебаний. Сиб. электрон. матем. изв., 11 (2014), C.161--C.171.

\end{ltrtr}

\end{document}