26-29 октября 2010 года, Красноярск

Новиков А.Е.  

Метод на основе стадий Дорманда-Принса переменного порядка и шага

При численном решении жестких задач большой размерности возникает необходимость использования алгоритмов на основе явных численных схем.
Здесь с применением предложенного в [1] способа оценки максимального собственного числа матрицы Якоби построено неравенство для контроля устойчивости метода Дорманда-Принса восьмого порядка точности [2]. На тестовых примерах из области химической кинетики показано повышение эффективности за счет дополнительного контроля устойчивости, а также за счет расчетов с переменным порядком. Контроль устойчивости позволяет существенно сократить неоправданные возвраты и, тем самым, повысить эффективность алгоритма интегрирования. По сути дела, контроль устойчивости расширяет возможности метода Дорманда-Принса применительно к задачам умеренной жесткости.
Использование неравенства для контроля устойчивости фактически не приводит к увеличению вычислительных затрат, потому что оценка максимального собственного числа матрицы Якоби исходной системы осуществляется через ранее вычисленные стадии и не приводит к росту числа вычислений функции f.
Применение на участке установления методов низкого порядка точности с расширенными областями устойчивости позволяет значительно увеличить размер шага интегрирования без увеличения вычислительных затрат. На переходных участках, где определяющую роль играет точность вычислений, эффективными являются методы более высокого порядка точности даже с небольшой областью устойчивости. Комбинирование методов низкого и высокого порядков с помощью неравенства для контроля устойчивости позволяет значительно повысить эффективность расчетов.

Список литературы

  1. Новиков Е.А., Новиков В.А. Контроль устойчивости явных одношаговых методов интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений // ДАН СССР. 1984. №5. 1058–1062.
  2. Prince P.J., Dormand J.R. High order embedded Runge-Kutta formulae // J. Comp. Appl. Math. 1981. 67–75.


К списку докладов