Shibxukhov Z.M.  

Об регулярных конечных суммах по Колмогорову

Обсуждается обобщенная операция суммирования конечных наборов вещественных величин, которая обобщает многие известные частные случаи суммирования в том же духе, как обобщенное среднее по Колмогорову обобщает различные виды средних.

Доказывается, что если операция S(x1, ... xn), определенная на (конечном или бесконечном) интервале I и для всех натуральных n, удовлетворяет следующим требованиям:

  • S(x) = x;
  • S  -- непрерывная;
  • S  -- строго монотонно возрастающая по каждому аргументу;
  • S  -- симметричная, т.е. при любой перестановке аргументов общая сумма остается неизменной;
  • S  -- ассоциативная, т.е. если заменить любую подгруппу аргументов на их сумму, то общая сумма не изменится:

S(x1, ..., xn, y1, ..., ym) = S(x1, ..., xn, S(y1, ..., ym)),

то S имеет вид:

S(x1, ... xn) = f-1(f(x1)+...+f(xn))

для некоторой непрерывной взаимно однозначной монотонно возрастающей функции f I.


To reports list