Shibxukhov Z.M.  

Об регулярных конечных суммах по Колмогорову

Обсуждается обобщенная операция суммирования конечных наборов вещественных величин, которая обобщает многие известные частные случаи суммирования в том же духе, как обобщенное среднее по Колмогорову обобщает различные виды средних.

Доказывается, что если операция S(x₁, ... x_n), определенная на (конечном или бесконечном) интервале I и для всех натуральных n, удовлетворяет следующим требованиям:

• S(x) = x;
• S  -- непрерывная;
• S  -- строго монотонно возрастающая по каждому аргументу;
• S  -- симметричная, т.е. при любой перестановке аргументов общая сумма остается неизменной;
• S  -- ассоциативная, т.е. если заменить любую подгруппу аргументов на их сумму, то общая сумма не изменится:

S(x₁, ..., x_n, y₁, ..., y_m) = S(x₁, ..., x_n, S(y₁, ..., y_m)),

то S имеет вид:

S(x₁, ... x_n) = f^-1(f(x₁)+...+f(x_n))

для некоторой непрерывной взаимно однозначной монотонно возрастающей функции f: I → I.