International Conference
"Modern Problems of Mathematics, Informatics and Bioinformatics",
devoted to the 100th anniversary of professor Alexei A. Lyapunov

Novosibirsk, Russia, 2011, October 11-14

Talyshev A.A.  

Построение базиса дифференциальных инвариантов конечномерной группы Ли средствами компьютерной алгебры

Дифференциальными инвариантами называются инварианты продолженной группы Ли. Для любой группы Ли существует конечный базис дифференциальных инвариантов [1], т.е. такое конечное множество скалярных инвариантов, которое порождает любой дифференциальный инвариант посредством конечного числа функциональных операций и операций инвариантного дифференцирования.

Дифференциальные инварианты позволяют конструировать инвариантные относительно данной группы преобразований системы дифференциальных уравнений и тем самым производить классификацию таких систем. Дифференциальные инварианты необходимы для построения специального преобразования — группового расслоения дифференциальных уравнений, они также необходимы для построения дифференциально-инвариантных решений.

Программа построения базиса дифференциальных инвариантов реализована на системе <<Reduce 3.8>> (http://reduce-algebra.sourceforge.net) и включает в себя самодостаточные модули: продолжения векторных полей, вычисления общего ранга системы векторных полей, решения линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений  с постоянными коэффициентами, преобразования векторных полей к новым переменным, выделения базиса инвариантов. Для случая линейной зависимости компонент векторных полей от переменных программа может полностью автоматически строить базис.

Работа программы демонстрируется на группах симметрий системы уравнений газовой динамики для различных уравнений состояния.

[1] Овсянников Л.В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978. 400 с.